Κυριακή, 11 Σεπτεμβρίου 2011

Μαθηματική ανάλυση του αξιώματος " Πάντα υπάρχει κάποιος εξυπνότερος από εσένα"

Μέσα σε πολλά κλισέ -ιδίως σ' εκείνα που αναπτύχθηκαν με αστήρικτα, εμπειρικά δεδομένα- ελοχεύουν επικίνδυνες λακκούβες οι οποίες μπορεί να εκτροχιάσουν εντελώς το μακρύ και δύσκολο ταξίδι της σκέψης.
Ένα εξ αυτών είναι το γνωστό κοινωνικό αξίωμα: " Να θυμάσαι, πάντα θα υπάρχει κάποιος καλύτερος/εξυπνότερος άνθρωπος από εσένα " (αναφερόμενη πάντα η πρόταση σε ένα κλειστό περιβάλλον, συνήθως συνδυασμένη με ένα συγκεκριμένο γεγονός ή πράξη ή εγχείρημα κάποιου). 

Ακολουθεί μια γενική, μαθηματική ανάλυση στην προσπάθεια να αποδειχθεί πως, αυτή η πρόταση σηκώνει πολύ νερό για να θεωρηθεί υποκειμενικά ορθή, πόσο μάλλον για να εδραιωθεί ως αξίωμα :

Από την στιγμή που η πρόταση αναφέρεται σε ανθρώπους και όχι γενικά σε πιθανά, έμβια όταν ισχύει πως:

 *********
- Υπάρχει πεπερασμένο σύνολο όλων των ανθρώπων Α με διακριτά και μοναδικά στοιχεία χ, όπου χ άνθρωπος.
- Έστω σύνολο Ε των έξυπνων, διακριτών ανθρώπων με αποτελέσματα ανώτερα του μέσου όρου για τυχαίο εγχείρημα Ζ.

- Ισχύει πως για κάθε         X ∈ Ε                όπου x έξυπνος ανθρωπος,
τότε x είναι σίγουρα άνθρωπος (Ε υποσύνολο του Α) άρα
σίγουρα          X ∈Α               αφού, αν το κλισέ αληθεύει, Ε ⊆ Α και Α πεπερασμένο.

- Άρα, για κάθε τυχαίο n υπάρχει k ούτως ώστε Xn, Χκ ∈Ε ⊆ Α   για τα οποία ισχύει ότι    Χκ > Xn    για κάθε κ, n με την σχέση να εκφράζει μέγεθος εξυπνάδας (μεγαλύτερος εδώ μεταφράζεται ως εξυπνότερος)

Αφού Ε πεπερασμένο, και αφού ισχύει Χκ>Χn για κάθε κ,n θέσεις στο σύνολο Ε

και

αφού δεν υπάρχουν πιθανά τέτοια ώστε Χκ,Χn ∉ Ε αλλά ταυτόχρονα να ισχύει Χκ,Χn ∈Α (κάθε στοιχείο του συνόλου Ε υπάρχει και στο σύνολο Α), τότε πρέπει να ισχύει πως 
υπάρχει z το οποίο :  Χz  > Χκ > Χn ,  για κάθε Xz, Xκ, Xn στοιχείa του Ε. 

΄Αρα, για συγκεκριμένη, προσδιορίσιμη ικανότητα σε συγκεκριμένη ενέργεια Ζ (και όχι γενικά, σύνολο το οποίο γινεται ασαφές καθώς η κατάταξη δεν παραμένει σταθερή και το υποσύνολο Ε αλλάζει ανάλογα το Ζ) υπάρχει στοιχείο Χz του Ε που δεν έχει στοιχείο Χ∈Ε μεγαλύτερό του στο πεπερασμένο σύνολο, άρα το αξίωμα είναι Άτοπο.

********
Γ.Σ.